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容斥問題的本質(zhì)是去除重復(fù)，而解題方法是公式法和圖示法。首先優(yōu)先使用公式法，兩集合類容斥問題的公式為：總情況數(shù)－兩個條件都不滿足的個數(shù)=滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)-兩個條件都滿足的個數(shù)，能夠直接套用公式的題目優(yōu)先套用公式。當(dāng)題目中出現(xiàn)“只”滿足一個條件這樣的字眼，由于公式當(dāng)中無法直接求出，可使用圖示法進行求解。

那么下面我們一起看幾個例題，應(yīng)用一下兩集合類容斥問題的兩種解題方法：

例題1：某單位計劃從全部80名員工中挑選專項工作組成員，要求該組成員須同時有基層經(jīng)歷和計算機等級證書。已知，單位內(nèi)有40人具有基層經(jīng)歷，有46人有計算機等級證書，既沒有基層經(jīng)歷又未獲得計算機等級證書的有10人。那么能夠進入工作組的員工有（   ）人。

A.16

B.40

C.46

D.54

答案：A

解析：第一步，本題考查容斥問題。

第二步，能夠進入工作組的員工即為兩個條件都滿足的人，設(shè)能夠進入工作組的員工有x人，根據(jù)兩集合容斥公式：總數(shù)－都不=A+B－AB，代入數(shù)據(jù)可得80-10=40+46-x，解得x=16人。因此，選擇A選項。

例題2：某年級有學(xué)生100名，某次測驗中數(shù)學(xué)滿分的有62人，英語滿分的有34人，兩門課程都得滿分的有11人，那么兩門課程都沒有得滿分的有(    )人。

A.26

B.15

C.96

D.89

答案：B

解析：第一步，本題考查容斥問題。

第二步，設(shè)兩門課程都沒有得滿分的有x人，根據(jù)二者容斥公式可得：62+34-11+x=100，解得x=15，即兩門課程都沒有得滿分的有15人。因此，選擇B選項

例題3：學(xué)校有300個學(xué)生選擇參加地理興趣小組，生物興趣小組或者兩個小組同時參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組，50%學(xué)生參加生物興趣小組。問同時參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少？

A.240

B.150

C.90

D.60

答案：C

解析：第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類，用公式法解題。

第二步，共兩個興趣小組，其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組，根據(jù)兩集合容斥原理公式：滿足條件1的個數(shù)＋滿足條件2的個數(shù)－兩者都滿足的個數(shù)＝總個數(shù)－兩者都不滿足的個數(shù)，設(shè)同時參加兩個興趣小組的學(xué)生占比為x，則有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同時參加兩個興趣小組的共有300×30%＝90（人）。因此，選擇C選項。

例題4：某科學(xué)家做了一項實驗，通過向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香腸以研究其食性。結(jié)果表明，90%的狒狒有進食，其中吃香蕉的狒狒是吃香腸的狒狒數(shù)量的3倍，而兩種食物都吃的狒狒是只吃香腸的狒狒數(shù)量的2/3，則未進食的狒狒是只吃香蕉的狒狒數(shù)量的：

A.1/5

B.3/10

C.2/13

D.4/15

答案：C

解析：第一步，本題考查容斥問題。

第二步，如下圖：

設(shè)兩種食物都吃的狒狒有2x只，則只吃香腸的有3x只，根據(jù)吃香蕉是吃香腸的3倍，可得吃香蕉的有（2x＋3x）×3＝15x只，進食的狒狒共15x＋3x＝18x只，占總數(shù)的90%，共計18x÷90%＝20x只狒狒，未進食的有2x只，是只吃香蕉的2/13。

因此，選擇C選項。

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